‘壹’ 想听大家对于一道密码设计的数学建模题
公钥密码又称为双钥密码和非对称密码，是1976年由Daffy和Hellman在其“密码学新方向”一文中提出的，见划时代的文献：
W.Diffie and M.E.Hellman, New Directrions in Cryptography, IEEE Transaction on Information Theory, V.IT-22.No.6, Nov 1976, PP.644-654
单向陷门函数是满足下列条件的函数f：
(1)给定x，计算y=f(x)是容易的；
(2)给定y, 计算x使y=f(x)是困难的。
(所谓计算x=f-1(Y)困难是指计算上相当复杂，已无实际意义。)
(3)存在δ，已知δ 时,对给定的任何y，若相应的x存在，则计算x使y=f(x)是容易的。
注：1*. 仅满足(1)、(2)两条的称为单向函数；第(3)条称为陷门性，δ 称为陷门信息。
2*. 当用陷门函数f作为加密函数时，可将f公开，这相当于公开加密密钥。此时加密密钥便称为公开钥，记为Pk。 f函数的设计者将δ 保密，用作解密密钥，此时δ 称为秘密钥匙，记为Sk。由于加密函数时公开的，任何人都可以将信息x加密成y=f(x)，然后送给函数的设计者（当然可以通过不安全信道传送）；由于设计者拥有Sk，他自然可以解出x=f-1(y)。
3*.单向陷门函数的第(2)条性质表明窃听者由截获的密文y=f(x)推测x是不可行的。
Diffie和Hellman在其里程碑意义的文章中，虽然给出了密码的思想，但是没有给出真正意义上的公钥密码实例，也既没能找出一个真正带陷门的单向函数。然而，他们给出单向函数的实例，并且基于此提出Diffie-Hellman密钥交换算法。这个算法是基于有限域中计算离散对数的困难性问题之上的：设F为有限域，g∈ F是F的乘法群F*=F\{0}=<g>。并且对任意正整数x，计算gx是容易的；但是已知g和y求x使y= gx，是计算上几乎不可能的。这已问题称为有限域F上的离散对数问题。公钥密码学种使用最广泛的有限域为素域FP.
对Diffie-Hellman密钥交换协议描述：Alice和Bob协商好一个大素数p，和大的整数g，1<g<p，g最好是FP中的本原元，即FP*＝<g>。p和g无须保密，可为网络上的所有用户共享。
当Alice和Bob要进行保密通信时，他们可以按如下步骤来做：
(1)Alice送取大的随机数x，并计算
X=gx(mod P)
(2)Bob选取大的随机数x，并计算X = gx (mod P)
(3)Alice将X传送给Bob；Bob将X 传送给Alice。
(4)Alice计算K=(X )X(mod P);Bob计算K ＝（X) X (mod P),易见，K=K =g xx (mod P)。
由(4)知，Alice和Bob已获得了相同的秘密值K。双方以K作为加解密钥以传统对称密钥算法进行保密通信。
注：Diffie-Hellman密钥交换算法拥有美国和加拿大的专利。
3 RSA公钥算法
RSA公钥算法是由Rivest,Shamir和Adleman在1978年提出来的（见Communitions of the ACM. Vol.21.No.2. Feb. 1978, PP.120-126)该算法的数学基础是初等数论中的Euler（欧拉)定理，并建立在大整数因子的困难性之上。
将Z/(n）表示为 Zn，其中n=pq; p,q为素数且相异。若
Z*n{g∈ Zn|(g,n)=1}，易见Z*n为 (n)阶的乘法群，且有 g (n)1(mod n)，而 (n)=(p-1)(q-1).
RSA密码体制描述如下：
首先，明文空间P＝密文空间C=Zn.(见P175).
A.密钥的生成
选择p,q，p,q为互异素数，计算n=p*q, (n)=(p-1)(q-1), 选择整数e使( (n),e)=1,1<e< (n)),计算d,使d=e-1(mod (n))),公钥Pk={e,n};私钥Sk={d,p,q}。
注意，当0<M<n时,M (n) =1(mod n)自然有：
MK (n)+1M(mod n), 而ed 1 (mod (n)),易见(Me)d M(mod n)
B.加密 (用e,n) 明文：M<n 密文：C=Me(mod n).
C.解密 (用d,p,q)
密文：C 明文：M=Cd（mod n)
注：1*, 加密和解密时一对逆运算。
2*, 对于0<M<n时，若(M,n) ≠ 1，则M为p或q的整数倍，假设M=cp，由(cp,q)=1 有 M (q) 1(mod q) M (q) (p) 1(mod q)
有M (q) = 1+kq 对其两边同乘M=cp有
有M (q)＋1=M+kcpq=M+kcn于是
有M (q)＋1 M(mod n)
例子：若Bob选择了p=101和q＝113，那么，n=11413, (n)=100×112＝11200；然而11200＝26×52×7，一个正整数e能用作加密指数，当且仅当e不能被2，5，7所整除（事实上，Bob不会分解φ(n)，而且用辗转相除法（欧式算法）来求得e，使（e, φ(n)=1)。假设Bob选择了e=3533，那么用辗转相除法将求得：
d=e -1 6597(mod 11200), 于是Bob的解密密钥d=6597.
Bob在一个目录中公开n=11413和e=3533, 现假设Alice想发送明文9726给Bob，她计算：
97263533(mod 11413)=5761
且在一个信道上发送密文5761。当Bob接收到密文5761时，他用他的秘密解密指数（私钥）d＝6597进行解密：57616597（mod 11413)=9726
注：RSA的安全性是基于加密函数ek(x)=xe(mod n)是一个单向函数，所以对的人来说求逆计算不可行。而Bob能解密的陷门是分解n=pq，知 (n)=(p-1)(q-1)。从而用欧氏算法解出解密私钥d.
4 RSA密码体制的实现
实现的步骤如下：Bob为实现者
(1)Bob寻找出两个大素数p和q
(2)Bob计算出n=pq和 (n)=(p-1)(q-1).
(3)Bob选择一个随机数e(0<e< (n))，满足（e， (n)）＝1
(4)Bob使用辗转相除法计算d=e-1(mod (n))
(5)Bob在目录中公开n和e作为她的公开钥。
密码分析者攻击RSA体制的关键点在于如何分解n。若分
解成功使n=pq，则可以算出φ(n)＝（p-1)(q-1)，然后由公
开的e，解出秘密的d。（猜想：攻破RSA与分解n是多项式
等价的。然而，这个猜想至今没有给出可信的证明！！！）
于是要求：若使RSA安全，p与q必为足够大的素数，使
分析者没有办法在多项式时间内将n分解出来。建议选择
p和q大约是100位的十进制素数。 模n的长度要求至少是
512比特。EDI攻击标准使用的RSA算法中规定n的长度为
512至1024比特位之间，但必须是128的倍数。国际数字
签名标准ISO/IEC 9796中规定n的长度位512比特位。
为了抵抗现有的整数分解算法，对RSA模n的素因子
p和q还有如下要求：
(1)|p-q|很大，通常 p和q的长度相同；
(2)p-1 和q-1分别含有大素因子p1和q1
(3)P1-1和q1-1分别含有大素因子p2和q2
(4)p+1和q+1分别含有大素因子p3和q3
为了提高加密速度，通常取e为特定的小整数，如EDI国际标准中规定 e＝216＋1，ISO/IEC9796中甚至允许取e＝3。这时加密速度一般比解密速度快10倍以上。 下面研究加解密算术运算，这个运算主要是模n的求幂运算。着名的“平方-和-乘法”方法将计算xc(mod n)的模乘法的数目缩小到至多为2l，这里的l是指数c的二进制表示比特数。若设n以二进制形式表示有k比特，即k=[log2n]+1。 由l≤ k，这样xc(mod n)能在o(k3)时间内完成。（注意，不难看到，乘法能在o(k2)时间内完成。）
平方－和－乘法算法：
指数c以二进制形式表示为：
c=
Xc=xc0×（x2)c1×…×(x2t-1)ct-1
预计算： x2=xx
x4=x22=x2x2
.
.
.
x2t-1 =x2t-2*x2t-2
Xc计算：把那些ci=1对应的x2i全部乘在一起，便得xc。至
多用了t-1次乘法。请参考书上的177页，给出计算
xc(mod n)算法程序：
A=xc c=c0+c12+..+ct-12t-1= [ct-1,....,c1,c0]2
5 RSA签名方案
签名的基本概念
传统签名（手写签名）的特征：
（1）一个签名是被签文件的物理部分；
（2）验证物理部分进行比较而达到确认的目的。(易伪造)
（3）不容易忠实地“”!!!
定义： (数字签名方案）一个签名方案是有签署算法与验
证算法两部分构成。可由五元关系组（P,A,K,S,V）来刻化：
(1)P是由一切可能消息(messages)所构成的有限集合；
(2)A是一切可能的签名的有限集合；
(3)k为有限密钥空间，是一些可能密钥的有限集合；
(4)任意k ∈K，有签署算法Sigk ∈ S且有对应的验证算法Verk∈V,对每一个
Sigk:p A 和Verk:P×A {真，假} 满足条件：任意x∈ P,y∈ A.有签名方案的一个签名：Ver(x,y)= ｛
注：1*.任意k∈K, 函数Sigk和Verk都为多项式时间函数。
2*.Verk为公开的函数，而Sigk为秘密函数。
3*.如果坏人（如Oscar)要伪造Bob的对X的签名，在计算上是不可能的。也即,给定x，仅有Bob能计算出签名y使得Verk(x,y)＝真。
4*.一个签名方案不能是无条件安全的，有足够的时间，Oscar总能伪造Bob的签名。
RSA签名：n=pq,P=A=Zn,定义密钥集合K={(n,e,p,q,d)}|n=pq,d*e1(mod (n))}
注意：n和e为公钥；p,q,d为保密的（私钥）。对x∈P, Bob要对x签名，取k∈K。Sigk(x) xd(mod n)y(mod n)
于是
Verk(x,y)=真 xye(mod n)
（注意：e,n公开；可公开验证签名(x,y)对错！！也即是否为Bob的签署）
注：1*.任何一个人都可对某一个签署y计算x=ek(y)，来伪造Bob对随机消息x的签名。
2*.签名消息的加密传递问题：假设Alice想把签了名的消息加密送给Bob，她按下述方式进行：对明文x，Alice计算对x的签名，y=SigAlice(x)，然后用Bob的公开加密函数eBob,算出
Z=eBob(x,y) ,Alice 将Z传给Bob，Bob收到Z后，第一步解密，
dBob(Z)=dBobeBob(x,y)=(x,y)
然后检验
VerAlice(x,y)= 真
问题：若Alice首先对消息x进行加密，然后再签名，结果
如何呢？Y=SigAlice(eBob(x))
Alice 将（z,y)传给Bob，Bob先将z解密，获取x;然后用
VerAlice检验关于x的加密签名y。这个方法的一个潜在问
题是，如果Oscar获得了这对（z,y)，他能用自己的签名来
替代Alice的签名
y=SigOscar(eBob(x))
(注意：Oscar能签名密文eBob(x)，甚至他不知明文x也能做。Oscar传送（z,y )给Bob,Bob可能推断明文x来自Oscar。所以，至今人么还是推荐先签名后加密。）
6.EIGamal方案
EIGamal公钥密码体制是基于离散对数问题的。设P
至少是150位的十进制素数，p-1有大素因子。Zp为有限域，
若α为Zp中的本原元，有Zp* ＝<α>。若取β∈Zp*=Zp\{0}，
如何算得一个唯一得整数a,（要求，0≤a≤ p-2)，满足
αa=β(mod p)
将a记为a=logαβ
一般来说，求解a在计算上是难处理的。
Zp*中的Egamal公钥体制的描述：设明文空间为P=Zp*,密文空
间为C=Zp*×Zp*,定义密钥空间K={(p, α,a, β )|β=αa(mod p)}
公开钥为：p, α ,β
秘密钥（私钥）：a
Alice 取一个秘密随机数k∈ Zp-1，对明文x加密
ek(x,k)=(y1,y2)
其中， y1=αk(mod p),y2=xβk(mod p)
Bob解密，
dk(y1,y2)=y2(y1α)-1(mod p)
注：1*.容易验证y2(y1α)-1=x(αa)k(αka)-1=x !!
2*.利用EIGamal加密算法可给出基于此的签名方案：
Alice 要对明文x进行签名，她首先取一个秘密随机数k作
为签名
Sigk(x,k)=( , )
其中 ＝αk(mod p), =(x-a )k-1(mod p-1)
对x, ∈Zp*和 ∈ Zp-1，定义Verk(x, ,)＝真等价于
βα＝αx(mod p)
要说明的是，如果正确地构造了这个签名，那么验证将
是成功的，因为
βα＝ αa αk (mod p)= αa+k (mod p)
由上面知道， ＝（x- a)k-1(mod p-1)可以推出
k=x- a(mod p-1)有a+kx(mod p)
所以 β ＝ αx (mod p)
该签名方案已经被美国NIST(国家标准技术研究所）确定为签名标准（1985）。
有关RSA方面的内容，请访问网址：
www.RSAsecurity.com
‘贰’ 玲玲的爸爸为玲玲的电脑设置了开机密码，这个密码是由0、1、3、4、5、6、9、这七个数字组成，而可
由0、1、3、4、5、6、9、这七个数组成精确到350万的最最大七位数,不用算应是 “ 3549610 ”了。
‘叁’ 计算机加密的一个数学问题
Z+Y<=255时候，只要设一个中间量A=Z+Y，如果A+Y≥255，那么可以断定用的是-，而且X=A；如果A+Y<255，那么可以断定用的是+，而且X=Z-Y。
比方说，y=115，z=30，a=z+y=145，判断145(a)+115(y)=260(>255)所以断定用的是-，而且X=145（A）
又如，y=25，z=30，a=z+y=55，判断55(a)+25(y)=80(<255)所以断定用的是+，而且X=z-y=5
_____________楼上的，y=10，z=240
a=z+y=250,250+10=260>255,所以断定用的是-，而且X=250（A）
你所说的220或240都不可以
‘肆’ 数学中的密码问题
一种密码只由字母k、l、m、n、o组成。密码的字母由左至右写成。符合下列条件才能组成密码文字。这组字母是:
1·密码文字最短为两个字母，可以重复;
2·k不能为首;
3·如果在某一密码文字中有l，则l就得出现两次以上;
4·m不可为最后一个字母，也不可为倒数第两个字母;
5·如果这个密码文字中有k，那么一定有n;
6·除非这个密码文字中有l，否则o不可能是最后一个字母。
[问题]
●题1下列哪一个字母可以放在lo后面形成一个由三个字母组成的密码文字?(a)k;(b)l(c)m;(d)n;(e)o。
●题2如果某一种密码只有字母k、l、m可用，且每个字只能用两个字母组成，那么可组成密码文字的总数是几?(a)1;(b)3;(c)6;(d)9;(e)12。
●题3下列哪一组是一个密码文字?(a)klln;(b)loml(c)mllo(d)nmko(e)onkm;
●题4k、l、m、n、o等五个字母能组成几个由三个相同字母组成的密码文字?(a)1;(b)2;(c)3(d)4;(e)5。
●题5只有一种情况除外，以下其他四种方法可以使密码文字mmllokn变成另一个密码文字。这种例外情况是:(a)用n替换每个l(b)用o替换第一个m;(c)用o替换n;(d)把o移至n右边;(e)把第二个m移至k的左边。
●题6下列五组字母中，有一组不是密码文字，但是只要改变字母的顺序，它也可以变成一个密码文字。这组字母是:(a)llmno;(b)lllkn;(c)mknon;(d)nklml;(e)ommll;
●题7下列哪一组密码能用其申的某个字母来替换这个密码中的字母x，从而组成一个符合规则的密码文字?(a)mkxno(b)mxkmn，(c)xmmko，(d):xmolk;(e)xoklln。
【答案】
■答题1选(b)。我们只要记住已知条件3，就可以立即选出正确答案。
■答题2选(a)。自已知条件2、4、5可知，三个字母中k和m两个字母在这样的条件中是不可能有用场的。因此只有l一个字母可用;再根据已知条件3，可得知这样的密码文字只有ll一种，故选(a)。
■答题3选(c)。选(a)违反条件2;选(b)违反条件4;选(d)违反条件6;选(e)违反条件4。故选(c)。
■答题4选(b)。既然条件限制在三个字母内，那么根据已知条件2、4、5、6，可先排除k、m、o三个字母，因此剩下的只有lll及mn两种。
■答题5选(c)。因为用o替代n后，原来的密码文字变为mmlloko，这样就违反了已知条件5，故为错。
■答题6选(d)。遇到这种题目我们可先将这个错误的密码文字找出来，然后再看是否可根据题中所限制的条件将它改正。我们可以发现，(d)组中的密码文字明显违反已知条件4，但只要将m与前三个字母nkl任一位置交换即可变成一个完全符合条件的密码文字，因此选(d)。
■答题7选(e)。让我们逐个来排除:(a)中的x一定要l替换才能符合已知条件6，但这组字母中没有l，故不行。(b)组中的密码文字本身就违反了已知条件4，因此也不行。(c)与(a)同理。(d)中的x必须由n代替才能符合已知条件5，而这个密码文字中没有n这个字母，因此同样不行。只有选(e)，才能符合所有的已知条件，故选(e)。
‘伍’ 这有一个数学题是猜密码的
6位数在800000-900000之间，说明十万位是8，设万位数为X，百位数为Y，则有：
8X0=35*Y4，也就是说8X0这个数除于35后得到的数的个位是4，4*35=140。
也就是说，8X这个数除于35的余数是14，所以很容易可以知道X=4，因为84/35的余数是14，代进去就可以知道840/35=24，可得到Y=2！
所以这个六位数是840242!
‘陆’ 数学题小婷给自己设置了一个开机密码,有5个七和4个0
说明这个密码是9位数，也就是这个简单的排列组合问题。
题目的意思可以理解为，有 9个方框，用5个7和4个0填上有多少种组合。由于只有两种数字，所以只要放好其中一种数字，剩下的数字就直接填上去就行了。也就是简单的从9个框选5个框放7就行了。也就是9×8×7×6×5÷5÷4÷3÷2÷1＝126种组合
‘柒’ 数学题责任的妈妈给泽泽的电脑设置了一个开机密码这个开机密码是有18243600这
然后想问什么问题，如果开机密码都知道了，打开电脑后，输入这个开机密码，就能进入系统了。
‘捌’ 数学题设计密码5位数千位,百位,十位,个位各是2倍,密码是多少
可以是78421吗？
‘玖’ 笑笑给家里电脑设置了一个密码可是却忘记密码了四年级数学题
这也太惨了吧，都把自己给设蒙了